Теория и практика защиты программ


Алгоритмы приближенных вычислений вероятностных характеристик наличия в программах РПС


В основу алгоритмов приближенных вычислений ВХ положен принцип расчета ВХ по функциям распределения выходных и промежуточных величин. При этом законы их распределения вычисляются как распределения функции от случайных аргументов[ЕУ].

Задача функционального преобразования непрерывных случайных величин формируется следующим образом.

Дано: совместная плотность распределения вероятностей wn(x1,...,xn) непрерывных случайных величин e1,...,en

и совокупность функций f1,...,fm от n переменных. С помощью этих функций определены m случайных величин h1=f1(x1,...,xn),...,hm=fm(x1,...,xn), где xi – значения случайных величин ei.

Необходимо: определить закон распределения каждой полученной случайной величины hj и их совместную плотность Wm(y1,...,ym), где yi - значения случайных величин hj.

Решение этой задачи точными методами [КК] даже для одномерного случая возможно только при жестких ограничениях на вид функции и закон распределения аргумента. Например, применение метода обратной функции требует вычисления на каждом участке монотонности f(x) обратной функции и производной от обратной функции.

Вычисление W(y) методом характеристической функции [КК] ограничено таким набором w(x) и f(x), для которых можно вычислить характеристическую функцию в явном виде, а по характеристической функции вычислить W(y).

В связи с этим целесообразно воспользоваться приближенным методом, сущность которого заключается в вычислении некоторых характеристик закона распределения и по ним восстановлении всего закона распределения. В качестве таких характеристик можно взять начальные моменты закона распределения:

 

mk(h)=

...
f(x1,...,xn)kw(x1,...,xndx1...dxn

или для одномерного случая h=f(x)

mk(h)=

f(x)kw(xdx

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно [КК].

Поскольку данный методический подход возможен практически для любых вычислительных алгоритмов, то для иллюстрации его реализуемости можно ограничиться классом функций, представимых конечным степенным рядом.


- Начало -  - Назад -  - Вперед -